Pendolo: periodo kaj akcelo de formulo

La mekanikaj sistemo, kiu konsistas el materia punkto (la korpo), kiu pendas sur weightless inextensible filamento (ĝia maso estas bagatela kompare al la pezo de la korpo) en uniforma gravita kampo, nomata la matematika pendolo (alia nomo - la oscilo). Ekzistas aliaj tipoj de mekanismoj. Anstataŭ filamento weightless vergo povas esti uzata. Pendolo povas klare malkaŝas la esencon de multaj interesaj fenomenoj. Kiam malgranda amplekso vibrojn de lia movado estas nomita harmonia.

Ĝeneralaj informoj pri la mekanika sistemo

La formulo de la oscilado periodo de la pendolo estis breditaj nederlanda sciencisto Huygens (1629-1695 gg.). Ĉi samtempulo de Isaac Newton tre amis la mekanika sistemo. En 1656 li kreis la unuan horloĝon kun pendolo meĥanismo. Ili mezuris la tempon kun ekstrema precizeco por tiuj tempoj. Tiu invento estis grava paŝo en la evoluo de fizikaj eksperimentoj kaj praktikaj agadoj.

Se la pendolo estas en ekvilibra pozicio (pendas vertikale), la forto de gravito estos balancita de la teksaĵo streĉiĝo forton. Plata pendolo sur ne-stretchable teksajxo estas sistemo kun du gradoj de libereco de komunikado. Ŝanĝinte nur unu komponanto de ŝanĝi la karakterizaĵojn de ĉiuj siaj partoj. Ekzemple, se fadenon anstataŭas por vergo, tiam tiu mekanika sistemo estas nur 1 grado de libereco. Kion do la bienoj de matematika pendolo? En ĉi tiu simpla sistemo, sub la influo de perioda perturbo, kaoso aperas. En tiu kazo, kiam la pendado punkto ne moviĝas, kaj ĝi oscilas pendolo estas nova ekvilibro pozicio. Se rapida fluctuaciones tien kaj reen tiun mekanikan sistemon fariĝas stabilan pozicion "renverse." Ĝi ankaŭ havas lian nomon. Ĝi estas nomita la Kapitza pendolo.

La proprietoj de la pendolo

Pendolo havas tre interesajn trajtojn. Ĉiuj ili estas subtenataj de konata fizika leĝoj. La periodo de oscilado de la pendolo ajna alia dependas de diversaj cirkonstancoj kiel ekzemple la grandeco kaj formo de la korpo, la distanco inter la punkto de interrompo kaj la centro de gravito, pezo distribuo rilate al tiu punkto. Tial la difino de la korpo pendas periodo estas sufiĉe malfacila. Estas multe pli facile kalkuli la periodon de simpla pendolo, la formulo de kiu ricevas malsupre. Rezulte observi tiujn skemojn povas stari sur similaj mekanikaj sistemoj:

• Se, subtenante la sama longo de la pendolo, pendigitaj de diversaj ŝarĝoj, la periodo de la oscilado atingi la saman, kvankam ilia pezo varias ege. Sekve, la periodo de la pendolo ne dependas de la pezo de la ŝarĝo.

• Se la sistemo komencas declinar en la pendolo estas ne tro granda, sed malsamaj anguloj, ĝi variadas kun la sama periodo, sed en malsamaj ampleksoj. Dum devioj de la centro de ekvilibro ne estas tro grandaj fluctuaciones en lia formo estos sufiĉe proksimaj harmona. La periodo de tia pendolo ne dependas de la vibro amplekso. Tiu posedaĵo de la mekanika sistemo estas nomita isochronism (en greka "Chronos" - tempo "Izosov" - egala).

La periodo de simpla pendolo

Tiu figuro reprezentas la naturan periodon de oscilado. Malgraŭ la kompleksa formuliĝo, la procezo mem estas tre simpla. Se la longo de la teksaĵo matematika pendolo L, kaj la gravita akcelo g, ĉi valoro egalas:

T = 2π√L / g

Malgrandaj periodo de naturaj osciladoj neniel ne dependas de la maso de la pendolo kaj la oscilado amplekso. En ĉi tiu kazo, kiel matematika pendolo movas kun reduktita longo.

Osciladoj de matematika pendolo

Matematika pendolo oscilas, kiu povas esti priskribita per simpla diferenciala ekvacio:

x + ω2 peko x = 0,

kie x (t) - nekonata funkcio (tiu angulo de devio de la pli malalta pozicio de ekvilibro en la tempo t, esprimita en radianoj); ω - pozitiva konstanto kiu estas difinita de la parametroj de la pendolo (ω = √g / L, kie g - la akcelo de gravito, kaj L - la longo de simpla pendolo (interrompo).

Ekvacio malgrandaj osciladoj proksime egalpeza pozicio (harmona ekvacio) kiel sekvas:

x + ω2 peko x = 0

Oscillatory moviĝo de la pendolo

Pendolo, kiu igas malgrandaj osciladoj, movante _sinusoid_. Dua celo diferenciala ekvacio renkontas ĉiujn postulojn kaj parametrojn de tia movado. Determini la vojon vi devas agordi la rapidon kaj koordinatoj, kiu poste decidita sendependaj konstantoj:

x = A sin (θ ₀ + ωt),

kie θ ₀ - komenca fazo, A - amplitudo de oscilado, ω - cikla frekvenco determinita de la ekvacioj de moviĝo.

Pendolo (formulo por grandaj ampleksoj)

Tiu mekanika sistemo, plenumi sian osciladoj kun granda amplekso, ĝi estas submetata al pli kompleksa trafiko leĝoj. Ili estas kalkulitaj laŭ la formulo por tia pendolo:

peko x / 2 = u * sn (ωt / aŭ),

kie sn - sinuso Jacobi, kiu dum u <1 estas perioda funkcio, kaj por malgrandaj u ĝi koincidas kun la simpla trigonometriaj sinuso. La valoro de u estas difinita per la sekva esprimo:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

kie ε = E / ML2 (ML2 - energio de la pendolo).

Determino de nelinearaj oscilado periodo de la pendolo de la sekva formulo:

T = 2π / Ω,

kie Ω = π / 2 * ω / 2K (aŭ), K - elipsa integralo, π - 3,14.

La pendolo movado de la separatrix

Ĝi nomis separatrix trajektorio de la dinamika sistemo, en kiu du-dimensia faza spaco. Pendolo moviĝas sur ne-periode. En la senfine malproksima punkto de tempo ĝi falas de la ekstrema supera pozicio direkte al nul rapideco, kaj tiam ĝi iom post iom gajnante. Li fine haltis, revenante al lia originala pozicio.

Se la amplitudo de oscilado de la pendolo alproksimiĝas la nombro pi, oni diras, ke la movado en la fazo aviadilo estas proksima al la separatrix. En ĉi tiu kazo, sub la ago de malgranda perioda kondukado forto de la mekanika sistemo elmetas kaosa konduto.

En la okazaĵo de simpla pendolo de la egalpeza pozicio kun angulo kmp okazas tuŝaj forto Fτ = -mg peko φ gravito. "Minus" signo signifas ke la tanĝanta komponanto direktitaj en la kontraŭa direkto de la direkto de devio de la pendolo. Aludante per pendolo movo x laŭ cirkla arko kun radiuso L estas egala al ĝia angula movo φ = x / L La dua leĝo Isaaka Nyutona, desegnita por projekcio de la akcela vektoro kaj forto donas la deziratan valoron;

Mg τ = Fτ = -mg peko x / L

Bazita sur ĉi tiu rilatumo, estas klare, ke la pendolo estas nelinearaj sistemo, kiel forto kiu inklinas reveni al ĝia egalpeza pozicio, ne ĉiam proporcia al la movo x, peko x / L

Nur kiam la matematika pendolo elfaras malgrandan vibrojn, ĝi estas harmona oscilo. Alivorte, ĝi iĝas mekanika sistemo kapabla de realigi harmonaj osciloj. Tiu alproksimiĝo estas valida por preskaŭ angulojn 15-20 °. Pendolo kun grandaj ampleksoj ne harmonia.

Neŭtona leĝo por malgrandaj osciladoj de pendolo

Se la mekanikan sistemon elfaras malgrandaj osciladoj, 2-a Neŭtona leĝo aspektos tiel ĉi:

Mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Sur tiu bazo, oni povas konkludi, ke la tanĝanta akcelo de simpla pendolo estas proporcia al lia movo per la signo "minus". Tiu estas kondiĉo per kio la sistemo iĝas harmona oscilo. Modulo proporcieco faktoro inter la movo kaj la akcelo egalas la kvadraton de la angula frekvenco:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L

Tiu formulo reflektas la natura frekvenco de malgrandaj osciladoj de ĉi tiu tipo de pendolo. Sur tiu bazo,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L

Ŝtonoj bazitaj en la leĝo de konservado de energio

Propraĵoj oscilanta pendolo movadoj povas esti priskribita per la helpo de la leĝo de konservado de energio. Ĝi devus konsideri ke la potenciala energio de la pendolo en gravita kampo estas:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Plena mekanikan energion egalas la kineta kaj maksimuman potencialon: Epmax = Ekmsx = E

Post kiam vi skribis la leĝon de konservado de energio, prenante la derivaĵo de la maldekstra kaj dekstra flankoj de la ekvacio:

Ep + Ek = const

Ekde la derivaĵo de la konstantoj egalas 0, do (Ep + Ek) '= 0. La derivaĵo de la sumo egalas la sumon de la derivitaj:

Ep '= (Mg / L * x 2/2)' = Mg / 2L * 2x * x '= Mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

tial:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Bazita sur la lastaj formulo, ni trovas: α = - g / L * x.

Praktika apliko de la matematikaj pendolo

Akcelo de libera falo varias kun latitudo, ĉar la denseco de la krusto ĉirkaŭ la planedo ne estas identaj. Kie rokoj okazas kun pli alta denseco, ĝi estos iomete pli alta. Akcelo de matematika pendolo estas ofte uzitaj por esplorado. En lia helpo rigardon por diversaj mineraloj. Simple rakontante la numero de osciladoj de pendolo, eblas detekti la karbo aŭ erco en la koroj de la Tero. Ĉi tio estas pro la fakto ke ĉi tiuj rimedoj havas densecon kaj pezo de pli ol kuŝanta sub la nefiksitaj rokoj.

Matematika pendolo uzita de tiaj eminentaj kleruloj kiel Sokrato, Aristotelo, Platono, Plutarko, Arquímedes. Multaj el ili kredis, ke la mekanika sistemo povas influi la sorton kaj vivon. Arkimedo uzis la matematika pendolo kun siaj kalkuloj. Nuntempe, multaj occultists kaj mediumoj uzi tiun mekanikan sistemon por la efektivigo de lia profetaĵoj, aŭ la serĉado de personoj malaperitaj.

La fama franca astronomo kaj sciencisto, Flammarion por iliaj esploroj ankaŭ uzis matematika pendolo. Li asertis ke per la helpo li povis antaŭdiri la malkovro de nova planedo, la apero de la Tunguska meteorito, kaj aliaj gravaj okazaĵoj. Dum la dua mondmilito en Germanio (Berlino) laboris kiel faka mezlernejo de la pendolo. Nuntempe, tia esploro ne haveblas Munkeno Instituto de Metapsikio. Lia laboro kun la pendolo la stabo de tiu institucio nomata "radiesteziey".