Konverto de Fourier. Rapida konverto de Fourier. Diskreta konverto de Fourier

Fourier transformo - transformo, asociante certa funkcio de reela variablo. Tiu operacio estas farita ĉiufoje ni perceptas malsamaj sonoj. Orelo produktas aŭtomata "kalkulo", kiu plenumu nian konscion povas nur post la ekzameno de la sekcio de pli alta matematiko. Aŭdinte organo en homaj transformo konstruas, en kiu la sono (konvencia vibratorias moviĝo de eroj en elasta medio, kiu propagas en ondo formularo en la solida, likva aŭ gasa medio) estas provizita en vico da sinsekvaj valoroj de la volumo nivelo de tonoj de varianta altecoj. Post tio, la cerbo turnas la informon en ĉiuj konataj sono.

Matematika Konverto de Fourier

Konvertiĝo de sonondoj aŭ aliaj vibro procezoj (per lumo emisión kaj oceano tajdo kaj stela aŭ sunaj cikloj) eblas realigitaj kaj per matematikaj metodoj. Tiel, uzante ĉi tiuj teknikoj, la funkcioj povas esti vastigita enkondukante vibratorias procezoj metita de sinusaj komponantojn, tio estas: ondecaj kurboj kiuj iras de minimumo al maksimumo kaj denove al minimumo, kiel la ondo de la maro. Fourier transformo - transformo funkcio kiu priskribas la fazo aŭ amplekso de ĉiu _sinusoid_ responda al specifa frekvenco. Fazo estas elirpunkto de la kurbo, kaj la amplekso - de lia alteco.

Konverto de Fourier (ekzemploj estas montritaj en la foto) estas tre potenca ilo, kiu estas uzita en diversaj kampoj de la scienco. En iuj kazoj, ĝi estas uzata kiel solvo prefere kompleksa ekvacioj kiuj priskribas la dinamikaj procezoj okazantaj sub la influo de lumo, varmego aŭ elektra energio. En aliaj kazoj, ĝi ebligas al vi difini regulan komponantojn en kompleksaj formoj de ondo, pro tio povas esti vera interpreti diversajn eksperimentajn observojn en kemio, medicino kaj astronomio.

historiaj informoj

La unua persono por apliki tiun metodon estis la franca matematikisto Zhan Batist Fure. Konvertiĝo, poste nomita laŭ li, estis origine uzita por priskribi la varmegon alkonduko meĥanismo. Fourier sia tuta plenkreska vivo okupiĝis studas la proprietojn de la varmego. Li faris grandegan kontribuon al la matematika teorio de la determino de la radikoj de algebraj ekvacioj. Fourier estis profesoro de analizo en la École Polytechnique, la Sekretario de la Mezlernejo de egiptologio, estis la imperia servo, kiu kaŭzis konfuzon en la tempo de konstruo de la vojo al Turín (sub lia gvidado estis malplenigita de pli ol 80 mil kvadrataj kilometroj de malario marĉojn). Tamen, ĉiuj ĉi aktivismo ne haltis la sciencisto engaĝita en analitiko. En 1802 ĝi estis derivita ekvacio kiu priskribas la disvastigon de varmego en solidoj. En 1807, sciencisto malkovris metodon por solvi tiun ekvacion, kiu iĝis konata kiel "Konverto de Fourier".

conductividad termika analizo

Esploristoj uzata matematika metodo por priskribi la varmegon alkonduko meĥanismo. Oportuna ekzemplo, kiu tute facile kalkulado estas la disvastigo de termika energio de feran ringon, unu parto mergita en fajron. Efektivigi eksperimentojn Fourier ruĝa varma parto de la ringo kaj enterigis lin en la delikata sablo. Poste, la temperaturo mezuradojn efektivigita sur la kontraŭa parto de tio. Komence, la varmego dissendo estas malregula: parto de la ringo - malvarma, kaj la alia - varmega, inter la zonoj povas observi akra temperaturo gradiento. Tamen, dum la varmego dissendo tra la metala surfaco, ĝi iĝas pli uniformo. Do, baldaŭ, tiu procezo prenas la formon de sinusa ondo. Unua grafo iom post iom pliigas kaj ankaŭ malgrandiĝas glate, precize la leĝoj de variado de la kosinuso aŭ sinuso funkcio. Ondo grade egaligita kaj rezulte la temperaturo iĝas uniformo en la tuta surfaco de la ringo.

La aŭtoro de ĉi tiu metodo supozas ke la komenca divido estas sufiĉe malregula povas esti malkomponita enen kelkaj elementaj sine ondoj. Ĉiu el ili havos lia fazo (komencan pozicion) kaj ĝia maksimuma temperaturo. Tiel ĉiu tia komponanto ŝanĝoj de minimumo al maksimumo kaj reen por kompletigi revolucion ĉirkaŭ la ringo entjero fojojn. Komponanto havanta periodo kiu estis nomita la fundamenta harmoniko, kaj la valoro de du aŭ pli periodoj - la dua kaj tiel plu. Ekzemple, matematika funkcio kiu priskribas la maksimuma temperaturo, la fazo aŭ pozicio nomita la konverto de Fourier de la distribua funkcio. Sciencisto alportis sola komponanto kiu estas malfacile matematika priskribo, por facile uzi ilojn - vicoj de sinuso kaj kosinuso, en la kvanto de doni la komenca divido.

La esenco de la analizo

Aplikante ĉi analizo al la konvertiĝo de varmego dissendo en la solida objekto, havanta nuligi formon, matematikiston rezonis ke kreskanta periodoj de sinusaj komponantojn konduki al lia rapida amortiguamiento. Oni klare vidas sur la ĉefa kaj dua harmoniko. La fina temperaturo atingas dufoje la maksimuma kaj minimuma valoroj en ununura enirpermesilo, kaj en la unua - nur unufoje. Montriĝas, ke la distanco vojaĝis per varmo en la dua harmona estas duono de la de la kerno. Krome, la gradiento de la dua duono estos ankaŭ pli kruta ol la unua. Sekve, ĉar pli intensa termika fluo pasas vidvino minimuma distanco, tiam tiu estos amortizis harmona kvarfoje pli rapide ol la ĉefa, kiel funkcio de tempo. En la sekva la procezo estos eĉ pli rapide. Matematikisto kredas ke ĉi tiu metodo permesas al ni kalkuli la procezo de la komenca divido de temperaturo kun tempo.

alvoko samtempuloj

Konverto de Fourier algoritmo iĝis defio al la teoriaj fundamentoj de matematiko tiutempe. En la frua deknaŭa jarcento, la plej eminentaj sciencistoj, inkluzive de Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre kaj Biot ne akceptis sian aserton ke la temperaturo de la komenca divido malkombiniĝas en komponantojn en la formo de la fundamenta ondo kaj pli alta frekvenco. Tamen la Akademio de Sciencoj povis ignori la rezultojn akiritaj matematikisto, kaj aljuĝis al li la premion por la teorio de varmego alkonduko de la leĝoj, tiel kiel direktante lia komparo kun fizikaj eksperimentoj. En la Fourier alproksimiĝo, la ĉefa argumento la fakto ke malkontinua funkcio estas reprezentita de sumo de pluraj sinusaj funkcioj, kiuj estas kontinuaj. Ja ili priskribi la eksplodanta rekta kaj linioj kurbigas. Nuntempa sciencisto neniam renkontis tian situacion, kiam la malkontinuaj funkcioj priskribitaj per kombino de kontinua, kiel kvadrata, lineara, sinuso aŭ eksponanto. En la okazaĵo ke matematikisto bone liaj asertoj, la sumo de malfinia serio de trigonometriaj funkcioj devus esti limigita al la ĝusta rapido. Dum tia aserto ŝajnis absurda. Tamen, malgraŭ la duboj de iuj esploristoj (ekz Claude Navier, Sofi Zhermen) plilarĝigis la amplekson de esplorado kaj alportis ilin el la analizo de varmego dissendo. Al matematiko, dume, daŭre suferos la demandon, ĉu sumo de pluraj sinusaj funkcioj estas reduktita al preciza reprezento de eksplodanta.

200-jara historio

Tiu teorio evoluis pli ol du jarcentoj, hodiaŭ ĝi fine kreis. Kun la helpo de la spaca aŭ tempa funkcioj estas rompita en sinusoidal komponantoj kiuj havas oftecon, fazo kaj amplitudo. Tiu konvertiĝo estas ricevita per du malsamaj matematikaj metodoj. La unua el ili estas uzataj en la kazo kiam la fonto estas kontinua funkcio, kaj la duan - en la kazo kie estas reprezentita de plureco de diskreta individuaj ŝanĝoj. Se la esprimo estas akirita de valoroj, kiuj estas difinitaj en diskretaj intervaloj, ĝi povas esti dividita en plurajn diskreta sinusoidal oftecoj esprimoj - de la plej malalta kaj tiam duobliĝis, triobligis, kaj tiel plu super la fundamentaj. Tiu kvanto estas nomita la Serio de Fourier. Se la komenca esprimo difinas la valoron de ĉiu reala nombro, povas esti rompita malsupren en multoblajn sinusoidal ĉiuj eblaj oftecoj. Ĝi nomiĝas Fourier integrala, kaj la decido implicas transformo de la integrala funkcio. Sendepende de la metodo por akiri transformo, por ĉiu frekvenco devus indiki du nombroj: amplekso kaj ofteco. Tiuj valoroj estas esprimitaj kiel sola kompleksa nombro. Esprimo kompleksaj variabloj teorio kune kun Fourier transformo plenumi kalkuloj permesis la dezajnon de diversaj elektraj cirkvitoj, la analizo de mekanikaj vibroj, la studo de onda disvastigo mekanismo kaj alia.

Konverto de Fourier hodiaŭ

Nuntempe, la studo de ĉi tiu procezo esence bolas malsupren al trovi efikajn metodojn por la transiro de funkcio por konverti ĝin al menso. Tiu solvo estas nomita la rekta kaj inversa konverto de Fourier. Kion tio signifas? Por determini la integralo kaj fari rekta konverto de Fourier, vi povas uzi matematikaj metodoj, sed vi povas analitiko. Malgraŭ tio, ke kiam ili estas uzataj en praktiko ekzistas iuj malfacilaĵoj, plej integraloj jam trovis kaj eniris en matematikaj manlibrojn. Kun la helpo de ciferecaj manieroj povas esti kalkulita esprimoj, la formo de kiu estas bazita sur la eksperimenta datumoj, funkcio kies integraloj en la tabloj mankas, kaj ili estas malfacile imagi en analiza formo.

Antaŭ la alveno de komputilaj inĝenierio kalkuloj tiaj transformoj estis tre teda, ili postulas manlibron ekzekuto de granda nombro de aritmetikaj operacioj kiuj dependas de la nombro de punktoj kiuj priskribas la funkcio de ondo. Por faciligi la setlejo hodiaŭ, ekzistas specialaj programoj, permesita efektivigi novajn analizaj metodoj. Do, en 1965, Dzheyms Kuli kaj Dzhon Tyuki kreita programaro kiu iĝis konata kiel "Rapida Fourier Transform". Ĝi ŝparas la tempon de la ŝtono de reduktanta la nombron de multiplikoj en la analizo de la kurbo. "Rapida Fourier Transform" La metodo bazas en dividi la kurbo en granda nombro da uniformo specimeno valorojn. Laŭe, la nombro de multiplikoj estas reduktita de duono samtempe reduktante la nombron da punktoj.

Aplikante la Konverto de Fourier

Tiu procezo estas uzata en diversaj kampoj: En nombroteorio, fiziko, signal-prilaborado, kombinatoriko, teorio de probabloj, ĉifriko, statistiko, oceanografio, optiko, akustiko, kaj aliaj geometrioj. Riĉaj ebloj por ĝia uzo estas bazitaj sur kelkaj utilaj trajtoj, kiuj estas nomitaj "ecoj de la Fourier transformo." Ni rigardu ilin.

1. La konverto funkcio estas lineara operatoro kaj respondan normaligo estas unuiga. Tiu posedaĵo estas konata kiel la Parseval teoremon, aŭ en la ĝenerala kazo, la teoremon Plansherelja aŭ Pontrjagin dualismo.

2. La konvertiĝo estas reversible. Cetere, la kontraŭa rezulto estas sufiĉe simila formo kiel en la rekta traktado.

3. La sinusaj bazaj esprimoj estas propraj diferencitaj funkcioj. Tio signifas, ke tia reprezento ŝanĝas linearaj ekvacioj kun konstantaj koeficientoj en konvencia algebra.

4. Laŭ la "rulumo" teoremon, la procezo faras kompleksan operacion en elementa multipliko.

5. Diskreta Fourier Transform povas rapide desegnis en komputilo uzanta la "rapida" metodo.

Variadoj de la Konverto de Fourier

1. Plej ofte la termino uzas por raporti al kontinua transformo, provizante ajna quadratically integralebla esprimo kiel la sumo de kompleksa eksponenta esprimo kun specifa angula frekvencoj kaj ampleksoj. Tiu specio havas plurajn malsamajn formojn, kiuj eble estas malsamaj konstantaj koeficientoj. La kontinua metodo inkluzivas konvertiĝo tablo, kiu povas trovi en matematika manlibrojn. Al ĝeneraligita kazo estas la frakcia konvertiĝo, per tiu procezo povas esti levita al la dezirata realan potencon.

2. La kontinuan metodo estas ĝeneraligo de pli frua tekniko de Fourier serio difinita por ajna perioda funkcioj aŭ esprimoj, kiuj ekzistas en limigita areo kaj reprezenti ilin kiel serio de _sinusoids_.

3. Diskreta konverto de Fourier. Ĉi tiu metodo estas uzita en komputado por scienca kalkulado kaj cifereca signal-prilaborado. Por realigi ĉi tiu tipo de kalkulas estas bezonata por havi funkcion de determini sur diskreta aro de individuaj punktoj, perioda aŭ limigita regiono anstataŭ kontinuan Fourier integraloj. Signalo konvertiĝo en ĉi tiu kazo estas prezentita kiel sumo de sinusoidoj. La uzo de "rapida" metodo permesas la uzo de ciferecaj solvoj por ĉiuj praktikaj celoj.

4. La fenestro Konverto de Fourier estas ĝeneraligita vido de la klasika metodo. Kontraste normo solvoj kiam la signalo spektro estas uzata, kiu estas prenita en la tuta gamo de ekzisto de ĉi tiu variablo estas de aparta intereso tie estas nur la lokaj Oftecodistribuo konservante la originala variablo (tempo).

5. La dudimensia konverto de Fourier. Tiu metodo estas uzata por labori kun dudimensiaj aroj de datumoj. En tia kazo, la konvertiĝo estas farita en unu direkto, kaj poste - en la alia.

konkludo

Hodiaŭ, la Fourier metodo estas firme enradikiĝinta en la diversaj kampoj de la scienco. Ekzemple, en 1962 malfermis la formo de la DNA duobla helico uzante Fourier analizon kune kun Radioterapio difrakto. Lastaj kristaloj temigis DNA fibroj, rezultante en bildo kiu akiras difrakto, registrita sur la filmo. Tiu bildo donis informon pri la valoro de la amplekso de uzanta la Konverto de Fourier al ĉi kristalo strukturo. Fazo informo akirita per komparo la DNA difrakto kartoj kun kartoj kiuj akiras en la analizo de simila kemia strukturo. Rezulte, biologoj restarigitaj kristalstrukturo - la originala funkcio.

Konverto de Fourier ludas grandegan rolon en la studo de kosma spaco, la fiziko de semiconductores materialoj kaj plasmo, mikroonda akustiko, oceanografio, radaro, sismologio kaj medicina ekzamenoj.