Cramer regulo kaj lia apliko

Cramer regulo - estas unu el la ĝusta maniero por solvantaj sistemoj de linearaj algebraj ekvacioj (Slough). Lia precizeco pro la uzo de la determinantes de la sistemo matrico, tiel kiel iuj de la limigoj postulitaj en la pruvo de la teoremo.

Sistemo de linearaj algebraj ekvacioj kun koeficientoj apartenantaj al, ekzemple, pluralidad de R - reala nombroj de misteroj x1, x2, ..., xn estas aro da esprimoj

ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = BI kun i = 1, 2, ..., m, (1)

kie aij, bi - reala nombroj. Ĉiu de ĉi tiuj esprimoj estas nomita lineara ekvacio, aij - koeficientoj de la misteroj, bi - sendependa koeficientoj de ekvacioj.

solvo de (1) nomata n-dimensia vektoro x ° = (x1 °, x 2 °, ..., x n °), ĉe kiu anstataŭigo en la sistemo por la misteroj x1, x2, ..., x n, ĉiu el la linioj en la sistemo fariĝas bona ekvacio .

La sistemo estas nomita konsekvenca se ĝi havas almenaŭ unu solvon, kaj nekonsekvenca, se ĝi koincidas kun la solvo aro de la malplena aro.

Ĝi devas memori ke por trovi solvojn al sistemoj de linearaj ekvacioj per la metodo de Cramer, matrico sistemoj devas esti kvadrato, kiu esence signifas la saman numeron de misteroj kaj ekvacioj de la sistemo.

Do, uzi Cramer la metodo, vi devas almenaŭ scias kion la Matrix estas sistemo de linearaj algebraj ekvacioj, kaj ĝi estas elsendita. Kaj en dua loko, por kompreni kio estas nomita la determinanto de la matrico kaj ĝia propra kapabloj de kalkulado.

Ni supozu, ke tiu scio vi ekposedos. Bonege! Tiam vi devas simple parkerigi formuloj determinanta Kramer metodo. Simpligi memorado uzi la sekvajn skribmaniero:

• Det - la ĉefa determinanto de la matrico de la sistemo;

• Deti - estas la determinanto de la matrico akirita de la ĉefa matrico de la sistemo anstataŭigante ia kolumno de la matrico por kolumna vektoro kies elementoj estas la dekstra flankoj de lineara algebra ekvacioj;

• n - la nombro de misteroj kaj ekvacioj de la sistemo.

Tiam Cramer regulo kalkulado ia komponanto xi (i = 1, .. n) n-dimensia vektoro x povas esti skribita kiel

xi = Deti / Det, (2).

En ĉi tiu kazo, Det strikte malsama de nulo.

La unikeco de la solvo de la sistemo kiam kune provizita de la malegaleco kondiĉo de la ĉefa determinante de la sistemo al nulo. Alie, se la sumo de (xi), kvadrataj, strikte pozitiva, tiam SLAE kvadrata matrico estas nerealigebla. Tio povas okazi precipe kiam almenaŭ unu el Deti nenula.

Ekzemplo 1. Solvi la tridimensian LAU sistemo uzante Cramer formulo.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x 2 + x3 = 10.

Decido. Ni noti la matrico de la sistemo linio por linio, kie Ai - estas la ia vico de la matrico.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolumno libera koeficientoj b = (31 oktobro 29).

La ĉefa sistemo estas la determinanto Det
Det = A11 a22 a33 + A12 a23 a31 + a31 a21 a32 - Al13 a22 a31 - A11 a32 a23 - a33 a21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Kalkuli la permuta det1 uzante A11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. tiam
det1 = b1 a22 a33 + A12 a23 b3 + a31 b2 a32 - Al13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 A12 = ... = -81.

Simile, por kalkuli det2 uzo anstataŭigo A12 = b1, a22 = b2, a32 = b3, kaj, laŭe, kalkuli det3 - Al13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Poste vi povas kontroli, ke det2 = -108, kaj det3 = - 135.
Laŭ la formuloj Cramer trovi x1 = -81 / (- 27) = 3, x 2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Respondo: x ° = (3,4,5).

Aludante al la aplikebleco de tiu regulo, la metodo de Kramer solvi sistemojn de linearaj ekvacioj povas esti uzata malrekte, ekzemple, esplori la sistemon sur la ebla nombro da solvoj laŭ la valoro de parametro k.

Ekzemplo 2. Determini kion valoroj de la parametro k malegaleco | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 havas akurate unu solvo.

Decido.
Tiu malegaleco, per la difino de la modulo funkcio povas esti farita nur se ambaŭ esprimoj estas nulo samtempe. Sekve, ĉi tiu problemo estas reduktita al trovi la solvon de lineara algebra ekvacioj

kx - y = 4,
x + ky = -4.

La solvo al ĉi tiu sistemo nur se ĝi estas la ĉefa determinante de la
Det = k ^ {2} + 1 estas ne nulaj. Estas klare, ke tiu kondiĉo estas kontentigita por ĉiuj reelaj valoroj de la parametro k.

Respondo: por ĉiuj reelaj valoroj de la parametro k.

La celoj de tiu tipo povas ankaŭ esti reduktita multaj praktikaj problemoj en la kampo de matematiko, fiziko aŭ kemio.