Kio estas aritmetiko? Fundamenta teoremo de aritmetiko. duumaj aritmetikaj

Kio estas aritmetiko? Kiam la homaro komencis uzi numerojn kaj labori kun ili? Kien lia radikoj de ĉiutaga konceptoj kiel nombroj, frakcioj, subtraho, adicio kaj multipliko, tiu persono faris integrita parto de lia vivo kaj perspektivo? Greka mensoj admiris tiaj sciencoj kiel matematiko, aritmetiko kaj geometrio, kiel bela simfonio de homa logiko.

Eble matematiko ne estas tiel profunda kiel la aliaj sciencoj, sed kio okazus al ili, homoj forgesas la elementa multipliko tabloj? Konata al ni logika pensado, uzante nombrojn, frakcioj, kaj aliaj iloj por doni homojn malfacilan tempon, kaj dum longa tempo estis ne havebla al niaj prapatroj. Fakte, antaŭ la evoluo de aritmetiko ne areon de homa scio ne vere scienca.

Aritmetiko - Matematiko estas la alfabeto

Aritmetiko - la scienco de nombroj, kun kiu ajna individua komencas konatiĝis kun la fascinante mondo de matematiko. En la vortoj de S-ro V. Lomonosov, aritmetiko - tio estas la pordego de lernado, malfermante la vojon por ni Miropoznanie. Sed li pravas, estas kono de la mondo povas esti disigita de la scio de leteroj kaj nombroj, matematiko kaj parolado? Eble en la malnovaj tagoj, sed ne en la moderna mondo, kie la rapida evoluo de scienco kaj teknologio faras siajn proprajn leĝojn.

La vorto "aritmetiko" (Gk. "Arifmos") de greka origino, signifas "nombro". Ĝi ekzamenas la nombro kaj ĉiu kiu povas esti asociita kun ili. Tiu estas la mondo de nombroj: diversaj operacioj sur nombroj, nombra reguloj, la taskoj kiuj estas rilataj al la multipliko, subtraho, ktp ..

Oni ĝenerale akceptis ke la komenca paŝo estas la aritmetika Matematiko kaj solida bazo por la pli kompleksa liaj sekcioj, kiel ekzemple algebro, matematika analizo, pli alta matematiko kaj t. D.

La ĉefa objekto de aritmetiko

La bazo de aritmetiko - estas entjero, proprietoj kaj leĝoj kiuj estas konsideritaj la plej alta aritmetiko aŭ nombroteorio. Fakte, kiel la rajto alproksimiĝon estas prenita en konsidero de tia malgranda unuo, kiel natura nombro dependas de la forto de la konstruaĵo - matematiko.

Sekve, la demando kiu estas aritmetikaj, la respondo estas simpla: estas la scienco de nombroj. Jes, pri la kutimaj sep, naŭ, kaj ĉiuj ĉi diversaj komunumo. Kaj ĝuste tiel, kaj la plej mediocres versoj ne povas skribi sen baza alfabeto, sen aritmetiko ne povas esti solvita eĉ bazaj taskoj. Tial ĉiuj sciencoj antaŭeniris nur post la evoluo de aritmetiko kaj matematiko, estante ĉefe aro de supozoj.

Aritmetiko - scienco-fantomo

Kio estas aritmetiko - naturscienco aŭ fantomo? Fakte, kiel la antikvaj grekaj filozofoj rezonis, ne nombrojn, neniu figuroj reale ne ekzistas. Estas nur fantomo, kiu estas kreita en la homa penso, kiam mi rigardis la medio kaj liaj procezoj. Fakte, kio estas la nombro? Nenie ĉirkaŭ ni vidas nenion kiel tio povus nomi la nombro, pli ĝuste, la nombro - ĝi estas maniero esplori la mondon de la homa menso. Eble ĉi tiu studo ni havas ene si mem? Filozofoj argumenti pri tio dum multaj jarcentoj en vico, por tiel doni ĝisfunda respondo ni ne entreprenas. De ajna formo, la aritmetika povus tiel firme prenu sian pozicion en la moderna mondo neniu povas esti konsiderata socie adaptita neatento de liaj fundamentoj.

Kiel estis pozitiva entjero

Kompreneble, la ĉefa celo de kiuj operacias aritmetiko, - natura nombro, kiel 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... ktp Aritmetiko de naturaj nombroj estas la rezulto de la kosto de ordinaraj objektoj, kiel ekzemple bovinoj en la kanejo. Tamen, la difino de "multaj" aŭ "iomete" kiam io ĉesis teni personoj, kaj devis elpensi pli kompleksa kalkulado teknikon.

Sed la vera trarompon alvenis kiam la homa menso atingis la punkton kiu povas esti unu kaj la sama kvanto de "du" por designar kaj 2 kg, kaj 2 brikojn kaj 2 partoj. La fakto, ke ĝi estas necesa por abstrakta de la formoj, karakterizaĵoj kaj signifo de objektoj, ni povas produkti iun agon per tiuj objektoj en la formo de pozitivaj entjeroj. Ĝi tiel naskiĝis la aritmetiko de nombroj, kiu estas plue evoluigita kaj plilarĝigis en okupi pozicion en la socio.

Tia profunda la koncepto de nombro, kiel nulo kaj negativaj nombroj, frakcioj, nombroj rilatas al la nombroj en aliaj manieroj, havas riĉan kaj interesan historion de evoluo.

Aritmetiko kaj praktika Egiptoj

Du malnovaj homaj kunulo en la studo de la mondo kaj solvi ĉiutagajn problemojn - ĉi aritmetiko kaj geometrio.

Oni kredas ke la historio de aritmetiko havas liajn originojn en la Antikva Oriento: Barato, Egiptio, Babilono kaj Ĉinio. Do, Rhind-a papiruso egipta origino (nomita tiel ĉar la sama nomo apartenanta al la posedanto), kiu datiĝas de la Jarcento jarcento. AK, aldone al aliaj valoraj datumoj inkludas la vastiĝo de frakcio de la kvanto de frakcioj kun malsamaj denominatoroj kaj numeratoro egala al unu.

Ekzemple: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Sed kio estas la signifo de tia kompleksa malkomponaĵo? La fakto ke la egipta alproksimiĝo ne toleras distrita pensante pri nombroj, male, la ŝtonoj estis faritaj nur por praktikaj celoj. Tio estas, la Egiptoj estos engaĝita en tia afero kiel kalkuloj, nur por konstrui la tombon, ekzemple. Necesis kalkuli la longon de la naĝilo strukturo, kaj ĝi faris por persono sidi papiruso. Kiel povas esti vidita, la egipta progreso en la kalkuloj estis nomita, iom masiva, konstruado, anstataŭ amo de scienco.

Tial, kalkuloj troviĝas en papirusoj, ne povas nomi interkonsiliĝoj sur la temo de frakcioj. Plej probable, ĝi estas praktika preparado, kio helpis al plua solvi problemojn kun frakcioj. La antikvaj egiptoj ne sciis la multipliko tablo, produktitaj sufiĉe longaj kalkuloj, etendantaj en multajn subtareas. Eble ĉi tiu estas unu el tiuj subtareas. Facilas rimarki ke la ŝtonoj per tiuj spacoj estas tre temporaba kaj ne tre promesplena. Eble tial ni ne vidas grandan kontribuon al la evoluo de antikva egipta matematiko.

Antikva Grekio kaj filozofia aritmetiko

Multaj el la scio de la Antikva Oriento estis sukcese regata de la antikvaj grekoj, konata al ŝatantoj de abstraktaj, abstrakta kaj filozofia pensado. Praktiki ilin interesas nenio malpli sed la plej bona teoriistoj kaj pensuloj estas malfacile trovi. Ĝi estas bona por la scienco ĉar matematiko ne eblas iri profunde, ne ŝirante ĝin realaĵo. Kompreneble, ĝi eblas multobligi la 10 bovinoj kaj 100 litroj de lakto, sed ne povos movi tiom.

Grekoj pensante profunde lasis signifan markon en historio, kaj liaj verkoj venis al ni:

• Eŭklido kaj "Eroj".
• Pitagoro.
• Arquímedes.
• Eratosteno.
• Zenon.
• Anaksagoro.

Kaj, kompreneble, turnas ĉiujn filozofio de la grekoj, kaj precipe la sekvantoj de Pitagoro kazoj estis tiom pasia pri la nombroj, kiuj konsideras ilin mistero mondo harmonion. La nombroj estis tiom studita kaj esploris, ke kelkaj el ili kaj iliaj paroj atribuis specialan ecoj. Ekzemple:

• Perfektaj nombroj - tiuj, kiuj estas la sumo de ĉiuj ĝiaj divizoroj escepte la nombron mem (6 = 1 + 2 + 3).
• Amikoj nombroj - tiuj nombroj, unu el kiuj estas sumo de ĉiuj divizoroj de la dua kaj inverse (Pitagoraj scias nur unu tia paro: 220 kaj 284).

La grekoj, kiuj kredis, ke scienco devus esti amata, ne por esti kun ŝi pro gajno, faris grandajn paŝegojn, esploris, ludante kaj aldonante nombroj. Estas notinde, ke ne ĉiuj de siaj esploroj estis vaste uzita, iuj el ili estis nur "ornamo."

Orienta pensuloj de la mezepoko

Simile, en la mezepoko aritmetiko ĝi ŝuldas sian evoluon al la orienta samtempuloj. La indianoj donis al ni la ciferojn, ke ni aktive uzos tian aferon kiel "nulo" kaj la pozicio variado kalkulo sistemo, la kutima moderna percepto. El Al-kaĉo, kiu en la 15-a jarcento laboris en Samarkando, ni heredis la glitpunktaj nombroj, sen kiuj estas malfacile imagi moderna aritmetiko.

En multaj vojoj, Eŭropo konas la atingoj de la Oriento estis ebligita danke al la laboro de la itala sciencisto Leonardo Fibonacci, kiu skribis libron "Liber Abaci", konatigi kun orientaj novigoj. Ĝi fariĝis la fundamento de la evoluo de algebro kaj la aritmetiko, esplorado kaj scienca agadoj en Eŭropo.

Rusa aritmetiko

Fine, aritmetiko, trovis sian lokon kaj enradikiĝas en Eŭropo, komencis diskonigi la rusa tero. Rusa unua aritmetiko eldonita en 1703 - ĝi estis libro pri aritmetiko Leontiya Magnitskogo. Dum longa tempo ĝi estis la nura lernilo en matematiko. Ĝi enhavas la komencaj momentoj de algebro kaj geometrio. La figuroj, kiuj estis uzataj en la ekzemploj de Rusio la unua lernolibro de aritmetiko, araba. Kvankam arabaj ciferoj renkontis antaŭe, en la gravuraĵoj devenante de la 17-a jarcento.

La libro mem estas ornamita kun bildoj de Arquímedes kaj Pitagoro, kaj sur la unua paĝo - bildo aritmetiko kiel virinon. Ŝi sidas sur la trono, sub ĝi estas skribita en la hebrea vorto por la nomo de Dio, kaj sur la ŝtupoj kiuj kondukas al la altaro, enskribita kun la vorto "divido", "kresko", "krom", kaj tiel plu. D. Oni povas nur imagi kio valoro perfidis tiaj veroj, kiuj estas nun konsideritaj ordinaraj.

La lernolibro de 600 paĝoj priskribas kiel la bazo de kiel adicio kaj multipliko tabloj, kaj aplikoj por navigiloj sciencoj.

Ne surprize, la aŭtoro elektis la bildon de la greka pensuloj por sia libro, ĉar li mem estis allogita de la beleco de aritmetiko, dirante: "Aritmetiko havas chislitelnitsa tie estas bela, nezavistnoe ...". Tiu alproksimiĝo al aritmetiko estas bone bazita, ĉar ĝi estas ĝia ĝeneraligita adopto povas esti konsiderita la komenco de la rapida disvolviĝo de scienca penso en Rusio kaj ĝenerala edukado.

maltrankvila primoj

Primo - ĝi estas natura nombro, kiu estas nur 2 pozitivaj divizoroj: 1 kaj si mem. Ĉiuj aliaj nombroj, krom 1 estas nomita komponaĵo. Ekzemploj de primoj: 2, 3, 5, 7, 11, kaj ĉiuj aliaj, kiuj ne estas divizoroj escepte 1 kaj la nombro mem.

Koncerne la numeron 1, ĝi estas ĉe premium - ekzistas interkonsento ke ĝi estu konsiderata nek simpla nek komponaĵo. Simpla al unua vido, simplan numeron kaŝas multajn nesolvita misterojn en si.

Eŭklida teoremo diras ke senfina nombro da primoj, kaj Eratosteno elpensis specialan aritmetiko "kribrilo", kiu forigas komplika nombrojn, lasante nur simplaj.

Lia esenco estas de elstari la unuan malforigi numeron, kaj en la postaj okulfrapa el tiuj, kiuj estas obloj de ĝi. Ni ripetas ĉi procedo plurfoje - kaj akiri tablo de primoj.

Fundamenta teoremo de aritmetiko

Inter la observoj pri primoj devas speciale mencii la baza aritmetiko teoremon.

Bazaj aritmetikaj statas ke ĉiu entjero pli granda ol 1, aŭ simpla aŭ ĝi povas esti malkomponita en produkto de primoj supren ĝis la ordo de ripeto faktoroj, la sola vojo.

Fundamenta teoremo de aritmetiko montriĝis tute maloportuna kaj prudento gxi ne ŝatas nur la fundamentojn.

Al unua vido, la primoj - elementa koncepto, sed ĝi ne estas. Fiziko ankaŭ iam konsideras elementa atomo, ĝis ŝi trovis ene de universo. Primoj dediĉita belegan historion matematikisto Dono Zagier "La unuaj kvindek milionoj primoj."

El la "tri pomoj" al dedukta leĝoj

Tio vere povas nomi plifortigita fundamento de ĉiu scienco - la leĝoj de aritmetiko. Eĉ kiel infano ĉiuj aritmetikaj vizaĝo, studante la nombro de kruroj kaj brakoj ĉe la pupojn, la nombro de kuboj, pomoj ktp. D. Do ni studi aritmetikon, kiu tiam progresas al pli kompleksajn regulojn.

Nia tuta vivo enkondukas nin al la reguloj de aritmetiko, kiuj estis por la komuna viro la plej utila de ĉiuj ke scienco donas. La studo de nombroj - ĝi estas "Aritmetiko-bebo", kiu enkondukas la homon al la mondo de nombroj kiel ciferoj en frua infanaĝo.

Supera Aritmetiko - dedukta scienco kiu studas la leĝojn de aritmetiko. La plej multaj el ili ni scias, kvankam eble ni ne scias la precizan vortumon.

Instruo de la adicio kaj multipliko

Ajna du entjeroj a kaj b povas esti esprimita kiel la sumo de a + b, kiu estas ankaŭ natura nombro. Pri la aldono, al la sekva leĝoj:

• Komuta, kiu diras ke la permuto de la terminojn metas kvanton ne ŝanĝas, aŭ a + b = b + a.
• Asocia tiu diris sumo ne dependas de la metodo de kolektante la terminoj en lokoj, aŭ + (b + c) = (a + b) + c.

Reguloj de aritmetiko, kiel ekzemple Krome, - unu el la bazaj, sed uzas ĉiujn sciencojn, ne mencii la ĉiutaga vivo.

Ajna du entjeroj a kaj b povas esti esprimita en la produkto aŭ b * a * b, kiu estas ankaŭ natura nombro. Apliki la produkton la sama komuta kaj asocieca leĝoj kiel la aldono de:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Estas interese, ke estas leĝo, kiu kombinas adicio kaj multipliko, ankaŭ konata kiel dissendo aŭ distribuebloregulo:

a (b + c) = ab + ac

Tiu leĝo instruas nin labori per krampoj, malfermante ilin, tiel ni povas jam laboras kun pli kompleksaj formuloj. Tio estas la leĝoj kiuj kondukos nin tra la kurioza sed kompleksa mondo de la algebro.

Leĝo aritmetiko ordon

pri la leĝoj de homa logiko uzas ĉiutage, kontrolanta sian horloĝon kaj kalkulante la fakturojn. Kaj, tamen, kaj ĝi devus esti farita en specifa lingvo.

Se ni havas du pozitivaj entjeroj a kaj b, tiam fari la jenon:

• a egalas al b, aŭ a = b;
• malpli ol b, aŭ
• a estas pli granda ol b, aŭ> b.

El la tri ebloj simple povas esti nur unu. La Baza Leĝo, kiu regas la procedo, diris: se a

Estas ankaŭ leĝoj kiuj ligas la agoj de la ordo de aldono kaj multipliko: se a

La leĝoj de aritmetiko instruis al ni labori kun nombroj, signojn kaj krampoj, turnante ĉion en harmonian simfonio de nombroj.

Pozicia kaj nonpositional numera sistemo

Ni povas diri ke la nombroj - tio estas la lingvo de matematiko, de la komforto de kiuj dependas de multaj aferoj. Ekzistas multaj sistemoj de ŝtono, kiu, kiel la alfabetoj de diversaj lingvoj malsamas.

Konsideru la nombrosistemo de la punkto de trafo pozicioj sur la kvanta valoro de la cifero en ĉi tiu pozicio. Ekzemple, roma sistemo estas nonpositional kie ĉiu cifero estas kodita per specifa aro de specialaj karakteroj: mi / V / X / L / C / D / M. Ili estas, respektive, la nombroj 1/5/10/50/100/500 / 1000. En ĉi tiu sistemo, la figuro ne ŝanĝas lian kvanta determino, depende de kion pozicio ĝi devus: .. La unua, dua, ktp Por ricevi la aliajn numerojn, necesas lasi la bazo. Ekzemple:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Pli konata al ni numeralo uzante arabaj ciferoj estas poziciaj. En tia sistemo la nombro de malŝarĝo difinas la nombron de ciferoj, ekzemple, tri-ciferaj nombroj: 333, 567, ktp La pezo de iu el la elfluon dependas pozicio sur kiu la figuro estas unu aŭ la alia, ekz-e figuro 8 en la dua pozicio havas valoron de 80. Estas tipa por la dekuma sistemo, ekzistas aliaj pozicia sistemo kiel duumaj.

duumaj aritmetikaj

Ni bone konas dekuma sistemo, kiu konsistas de sola bitoj kaj multi-bita nombroj. La figuro maldekstre en la cifero nombro estas dekoble pli granda en graveco al la unu dekstre. Do, ni kutimis legi 2, 17, 467, kaj tiel plu. D. Estas malsamaj logiko kaj alproksimiĝo sekcio, kiu estas nomita "duumaj aritmetiko." Ĉi tio ne estas surpriza, ĉar duumaj aritmetikaj ne kreita por homa logiko, kaj por la komputilo. Se la aritmetiko de nombroj estigis de la kalkulado, kiu plue abstraída de la temo posedaĵo al "nuda" aritmetiko, tiam tiu ne funkcios kun via komputilo. Esti kapabla dividi liaj konoj kun la komputilo, viro devis elpensi modelon kalkulo.

Duumaj aritmetiko funkcias kun la duuma alfabeto, kiu konsistas nur el 0 kaj 1. Kaj la uzo de ĉi tiu alfabeto nomiĝas binara sistemo.

Kontraste duumaj aritmetikaj dekuma ke la graveco de la pozicion de la maldekstra ne plu 10, kaj 2 fojojn. Duumaj nombroj estas de la formo 111, 1001 kaj tiel plu. D. Kiel ni komprenas tiujn numerojn? Tiel, ni konsideru la nombro 1100

1. La unua cifero maldekstre - 1 * 8 = 8, konsiderante ke la kvara cifero, kio signifas, ke ĝi devas esti multiplikita per 2, ni akiras la 8 pozicio.
2. Dua cifero 1 * 4 = 4 (pozicio 4).
3. La tria cifero 0 * 2 = 0 (posteno 2).
4. La kvara cifero 0 * 1 = 0 (posteno 1).
5. Do nia nombro 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Tio estas, la transiro al nova kategorio maldekstren de ĝia signifo en la duuma sistemo estas multiplikita per 2 kaj la dekuma - al 10. Tia sistemo havas unu malavantaĝon: ĝi estas tro granda kresko bitoj kiuj estas postulataj por registri nombrojn. Ekzemploj decimalaj numeroj dvochinyh kiel povas vidi en la sekva tabulo.

Dekuma nombroj estas reprezentitaj en binara formo sub.

Ĝi estas uzata ankaŭ okuma kaj deksesuma numera sistemo.

Tiu mistera aritmetiko

Kio estas aritmetikaj, "du plus du" aŭ neesplorita misteroj de nombroj? Kiel vi povas vidi, aritmetiko, povas, kaj ŝajnas unuavide simpla, sed ĝi ne estas evidenta trompa facileco. Eblas studi infanoj, kaj kune kun Onklino Strigo de la bildstrio "Aritmetiko-bebo", kaj vi povas plonĝi en la profundan scienca esploro preskaŭ filozofia ordo. En historio ĝi pasis de kalkulante objektoj adori la beleco de nombroj. Unu afero estas certa: kun la starigo de la bazaj postulatoj de aritmetiko, ĉiu scienco povas fidi sur Siaj ŝultro.