La sumo de la anguloj de triangulo. La teoremo de la sumo de anguloj de triangulo

La triangulo estas plurlatero havanta tri flankoj (tri anguloj). Plej ofte, la parto skribata malgrandaj literoj responda majuskloj, kiuj reprezentas kontraŭaj verticoj. En ĉi tiu artikolo ni rigardu tiujn tipojn de geometriaj formoj, teoremo, kiu difinas, kio estas egala al la sumo de anguloj de triangulo.

Tipoj plej grandaj anguloj

La jenaj specoj de poligono kun tri verticoj:

• akra-angled, en kiu ĉiuj anguloj estas akraj;
• rektangula havanta unu rektan angulon, flanke formante ĝin, aludis la gamboj, kaj la flanko kiu estas dispoziciita kontraŭa al la dekstra angulo estas nomita la hipotenuzo;
• obtuzaj kiam oni angulo estas obtuzaj ;
• izocelaj, kies du flankoj estas egalaj, kaj ili estas nomitaj flanka, kaj la tria - triangulo kun bazo;
• egallateraj havanta tri egalaj flankoj.

ecoj

Asigni la baza ecoj kiuj estas karakterizaj de ĉiu tipo de triangulo:

• kontraŭa la plej granda parto estas ĉiam pli granda angulo, kaj inverse;
• estas egalaj anguloj kontraŭa la egala plej granda partio, kaj inverse;
• en ajna triangulo havas du akraj anguloj;
• ekstera angulo pli granda ol ĉiu interna angulo ne apuda kun gxi;
• la sumo de ĉiuj du anguloj estas ĉiam malpli ol 180 gradoj;
• ekstera angulo egalas la sumon de la aliaj du anguloj, kiuj ne mezhuyut kun li.

La teoremo de la sumo de anguloj de triangulo

La teoremo statas ke se sumigi ĉiuj anguloj de la geometria formo, kiu situas en la Eŭklida ebeno, tiam ilia sumo estos 180 gradoj. Ni provu pruvi tiun teoremon.

Lasu ni havas arbitran triangulo kun verticoj KMN. Trans la supro de M okazigos rekta paralela al la linio KN (eĉ tiu linio estas nomata Eŭklido). Ni notu punkto A tiel ke la punktoj K kaj A estas aranĝitaj el diversaj flankoj de la linio MN. Ni akiras la saman angulo de AMS kaj MUF, kiu, kiel la interno, kuŝi kruce formi sekcanta MN kune kun rekta CN kaj MA, kiuj estas paralelaj. El tio sekvas, ke la sumo de la anguloj de la triangulo, lokita ĉe la verticoj de M kaj N egalas la grandecon de la CMA angulo. Ĉiuj tri anguloj konsistas el sumo egala al la sumo de anguloj de KMA kaj MCS. Ekde la datumoj estas internaj anguloj relativa flankita paraleloj CL kaj CM MA ĉe sekcantaj, ilia sumo estas 180 gradoj. Tiu pruvas la teoremon.

rezulto

De la supre-supra teoremo implicas la sekvajn korolario: ĉiu triangulo havas du akrajn angulojn. Por pruvi tion, ni supozas ke ĉi tiu geometria figuro havas nur unu akra angulo. Vi ankaŭ povas supozi, ke neniu el la anguloj ne estas akra. En ĉi tiu kazo ĝi devas esti almenaŭ du anguloj, la grando de kiu estas egala al aŭ pli granda ol 90 gradoj. Sed tiam la sumo de la anguloj estas pli granda ol 180 gradoj. Sed tio ne povas esti, ĉar laŭ la teoremon sumo anguloj de triangulo estas egala al 180 ° - ne pli, ne malpli. Tion devis esti pruvita.

Posedaĵo ekster anguloj

Kio estas la sumo de la anguloj de triangulo, kiu estas ekstera? La respondo al tiu demando povas esti ricevita per aplikanta unu el du manieroj. La unua estas ke vi devas trovi la sumo de la anguloj, kiuj estas prenitaj unu je ĉiu vertico, tio estas, tri anguloj. La dua implicas, ke vi bezonas por trovi la sumon de la ses anguloj ĉe la verticoj. Pritrakti la komenco de la unua personigo. Tiel, la triangulo entenas ses eksteraj anguloj - supre de ĉiu el la du. Ĉiu paro havas egalajn angulojn inter si mem, de kiam ili estas vertikalaj:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Krome, ĝi scias ke la ekstera angulo de triangulo egalas la sumon de la du interno, kiuj ne mezhuyutsya kun li. tial,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Laŭ tio ŝajnas, ke la sumo de la ekstera angulojn, kiuj estas prenitaj unu post alia proksime ĉiu vertico estos egala al:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Pro tio, ke la sumo de la anguloj egalas 180 gradojn, ĝi povas esti argumentis ke ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Tio signifas, ke ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Se la dua eblo estas uzata, la sumo de la ses anguloj estos ekvivalente pli granda dufoje. Kio estas la sumo de la anguloj de triangulo eksteren estos:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

orta triangulo

Kio estas egala al la sumo de la anguloj de orta triangulo, estas la insulo? La respondo estas, denove, de teoremo, kiuj ŝtatoj ke la anguloj de triangulo aldoni ĝis 180 gradoj. Trankvila nia aserto (proprieto) kiel sekvas: en orta triangulo akraj anguloj aldoni ĝis 90 gradoj. Ni pruvi lia vereco. Estu donita triangulo KMN, kio ∟N = 90 °. Estas necese pruvi ke ∟K ∟M = + 90 °.

Tiel, laŭ la teoremo de la sumo de la anguloj ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. En ĉi tiu kondiĉo oni diras ke ∟N = 90 °. Rezultas ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Jen ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Tion ni devus pruvi.

Krom la supre propraĵoj de orta triangulo, Vi povas aldoni ĉi tiujn:

• angulojn, kiuj kuŝas kontraŭ la kruroj estas akraj;
• la hipotenuzo de la triangula granda ol iu el la kruroj;
• la sumo de la kruroj pli ol la hipotenuzo;
• kruro de la triangulo, kiu kuŝas kontraŭa al la angulo de 30 gradoj, la duono de la hipotenuzo, tio estas egala al lia duono.

Kiel alia propraĵo de la geometria formo povas distingi Pitagora teoremo. Ŝi argumentas ke en triangulo kun angulo de 90 gradoj (rektangula), la sumo de la kvadratoj de la katetoj egalas la kvadraton de la hipotenuzo.

La sumo de anguloj de izocela triangulo

Pli frue ni diris ke izocela triangulo estas plurlatero kun tri verticoj, enhavantaj du egalaj flankoj. Tiu posedaĵo estas konata geometria figuro: la anguloj ĉe ĝia bazo egalaj. Ni pruvi tion.

Prenu la triangulo KMN, kiu estas izocelaj, SC - ĝia bazo. Ni estas postulata por pruvi ke ∟K = ∟N. Do, ni supozu, ke MA - KMN estas la Dusekcanto de nia triangulo. ICA triangulo kun la unua signo de egaleco estas triangulo MNA. Al scii, de hipotezo donita ke CM = NM, Ma estas komuna flanko, ∟1 = ∟2, ĉar MA - ĉi Dusekcanto. Uzante la egaleco de la du trianguloj, oni povus argumenti ke ∟K = ∟N. Tial, la teoremo estas pruvita.

Sed ni interesiĝas, kio estas la sumo de la anguloj de triangulo (izocelaj). Ĉar en ĉi tiu respekto ne devas liajn karakterizaĵojn, ni komencos de la teoremon diskutis antaŭe. Tio estas, ni povas diri ke ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, aŭ 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kiel ∟K = ∟N). Tio ne pruvas la posedaĵon, kiel la teoremo de la sumo de la anguloj de triangulo estis pruvita pli frue.

Krom la konsiderita propraĵoj de la anguloj de triangulo, estas ankaŭ tiaj gravaj deklaroj:

• en egallatera triangulo alteco, kiu estis malsuprenirita al la bazo, estas samtempe la mezala Dusekcanto de la angulo kiu estas inter la egalaj flankoj kaj la akso de simetrio de ĝia bazo;
• meza (Dusekcanto, alteco), kiu okazas al la flankoj de geometria figuro, estas egalaj.

egallatera triangulo

Ĝi ankaŭ estas nomita la dekstra, estas la triangulo, kiu estas egala al ĉiuj partioj. Kaj tial ankaŭ egalaj kaj anguloj. Ĉiu el ili estas 60 gradoj. Ni pruvi ĉi proprieto.

Ni supozu, ke ni havas triangulo KMN. Ni scias, ke KM = HM = KH. Tio signifas, ke, laŭ la posedaĵo de la anguloj situas ĉe la bazo de egallatera triangulo ∟K = ∟M = ∟N. Pro tio ke, laŭ la sumo de anguloj de triangulo teoremon ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, tiam x 3 = 180 ° ∟K aŭ ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Tiel, la aserto estas pruvita. Vide de la pli supre pruvo surbaze de la supre teoremo, la sumo de la anguloj de egallatera triangulo, kiel la sumo de la anguloj de ajna alia triangulo estas 180 gradoj. Denove pruvi tiun teoremon estas necese.

Ekzistas ankoraŭ iuj ecoj karakterizaj de egallatera triangulo:

• meza Dusekcanto alteco en geometria figuro identa, kaj ilia longo estas kalkulita kiel (a x √3): 2;
• se tiu plurlatero circumscribing la cirklo, tiam la radiuso estos egala al (a x √3): 3;
• se enskribita en cirklo egallatera triangulo, lia radioaparato estus (a x √3): 6;
• areo de la geometria figuro estas kalkulita per la formulo: (Al2 x √3): 4.

obtuzaj triangulo

Per difino, obtuza-angled triangulo, unu el liaj anguloj estas inter 90 al 180 gradoj. Sed donita la fakto ke la aliaj du anguloj de la geometria formo akra, ĝi povas esti konkludis ke ili ne superas 90 gradoj. Tial, la sumo de la anguloj de triangulo teoremon laboras en kalkulanta la sumo de la anguloj en obtuza triangulo. Do, ni povas sekure diri, surbaze de la supre teoremon ke la sumo de la obtuzaj anguloj de triangulo estas 180 gradoj. Denove, tiu teoremo ne bezonas re-pruvo.