La unua signo de egaleco de trianguloj. La dua kaj tria signo de la egaleco de trianguloj

Inter la granda numero de pluranguloj, kiu fakte estas fermita ne-intersekcia rompita linio, la triangulo estas la figuro kun la plej malgranda nombro da anguloj. Alivorte, ĉi tiu estas la plej simpla plurangulo. Sed, malgraŭ ĉia simpleco, ĉi tiu figuro enhavas multajn misterojn kaj interesajn malkovrojn, kiuj estas kovritaj de speciala sekcio de matematiko - geometrio. Ĉi tiu disciplino estas instruata en lernejoj ekde la sepa grado, kaj la temo "Triangulo" estas speciala atento ĉi tie. Infanoj ne nur lernas la regulojn pri la figuro mem, sed ankaŭ komparas ilin, studante 1, 2 kaj 3 signojn de egaleco de trianguloj.

Unua konato

Unu el la unuaj reguloj, per kiuj lernantoj konas, sonas tiel: la sumo de la grandoj de ĉiuj anguloj de la triangulo estas 180 gradoj. Por konfirmi ĉi tion, sufiĉas mezuri ĉiun vertikon kun la helpo de protokristo kaj aldoni ĉiujn rezultajn valorojn. Pro ĉi tio, por du konataj kvantoj, facile determinas la trian. Ekzemple: En unu angulo de la triangulo estas 70 °, kaj la alia estas - 85 °, kio estas la grandeco de la tria angulo?

180 - 85 - 70 = 25.

Respondo: 25 °.

Problemoj povas esti pli komplikaj, se nur unu valoro de la angulo estas specifita, kaj la dua valoro diras nur kiom kaj kiomfoje ĝi estas pli granda aŭ malpli.

En la triangulo, por determini iujn el ĝiaj trajtoj, specialaj linioj povas esti desegnitaj, ĉiu el kiuj havas sian propran nomon:

• Alteco - perpendikulara linio el la supro al la kontraŭa flanko;
• Ĉiuj tri altecoj tenitaj samtempe en la centro de la figuro intersekktiĝas, formante ortokentron, kiu, laŭ la tipo de triangulo, povas esti interne kaj ekstere;
• Mediano - la linio kunliganta la verticon kun la mezo de la kontraŭa flanko;
• La intersekco de la mezumoj estas la punkto de graveco, estas interne de la figuro;
• Bisektrico estas linio pasanta de la vertico ĝis la punkto de intersekco kun la kontraŭa flanko, la intersekcia punkto de la tri bisektoroj estas la centro de la enskribita cirklo.

Simplaj veroj pri trianguloj

Trianguloj, kiel ĉiuj ciferoj, havas siajn proprajn trajtojn kaj proprietojn. Kiel jam menciis, ĉi tiu cifero estas la plej simpla plurangulo, sed kun siaj propraj trajtoj:

• Kontraŭ la plej longa flanko ĉiam estas angulo kun pli granda valoro, kaj viceversa;
• Egalaj anguloj kuŝas sur egalaj flankoj, izoscela triangulo estas ekzemplo;
• La sumo de la internaj anguloj estas ĉiam 180 °, kiu jam estis pruvita per la ekzemplo;
• Kiam unu flanko de la triangulo etendiĝas preter ĝiaj limoj, ekstera angulo estas formata, kiu ĉiam estos egala al la sumo de la anguloj, kiuj ne estas apudaj;
• Ĉiu el la partioj estas ĉiam malpli ol la sumo de la aliaj du partioj, sed pli ol ilia diferenco.

Tipoj de trianguloj

La sekva etapo de konato estas determini la grupon al kiu apartenas la reprezentita triangulo. Apartenanta al unu formo aŭ alia dependas de la anguloj de la triangulo.

• Egala - kun du egalaj flankoj, nomataj flanka, la tria en ĉi tiu kazo agas kiel la bazo de la figuro. La anguloj ĉe la bazo de tia triangulo estas la samaj, kaj la mezumo desegnita de la supro estas la bisektrico kaj la alteco.
• Regula aŭ egallatera triangulo estas unu kun ĉiuj ĝiaj flankoj egalaj.
• Rektangula: unu el ĝiaj anguloj estas 90 °. En ĉi tiu kazo, la flanko kontraŭ ĉi tiu angulo estas nomita la hipotenuso, kaj la aliaj du estas nomataj la kruroj.
• Akra triangulo - ĉiuj anguloj estas malpli ol 90 °.
• Akceptebla angulo - unu el la anguloj estas pli granda ol 90 °.

Egaleco kaj simileco de trianguloj

En la procezo de lernado, ne nur konsideras unu figuron, sed ankaŭ komparas du triangulojn. Kaj ĉi tiu ŝajne simpla temo havas multajn regulojn kaj teoremojn, per kiuj oni povas pruvi, ke la ciferoj sub konsidero estas egalaj trianguloj. La signoj de egaleco de trianguloj havas la sekvan difinon: trianguloj estas egalaj, se iliaj respektivaj flankoj kaj anguloj estas la samaj. Kun ĉi tiu egaleco, se vi superimposos ĉi tiujn du figurojn unu al la alia, ĉiuj iliaj linioj konverĝos. Same, la figuroj povas esti similaj, precipe, ĝi koncernas preskaŭ identajn figurojn, kiuj diferencas nur en grandeco. Por fari konkludon pri la reprezentitaj trianguloj, oni devas observi unu el la sekvaj kondiĉoj:

• Du anguloj de unu figuro estas egalaj al du anguloj de la alia;
• La du flankoj de unu estas proporciaj al la du flankoj de la dua triangulo, kaj la anguloj formitaj de la flankoj estas egalaj;
• La tri flankoj de la dua figuro estas la samaj kiel la unuaj.

Kompreneble, por neevitebla egaleco, kiu ne kaŭzas la plej malgrandan dubon, necesas havi la samajn valorojn por ĉiuj elementoj de ambaŭ figuroj, sed uzante la teoremojn la problemo estas tre simpligita, kaj nur kelkaj kondiĉoj estas permesitaj pruvi la egalecon de la trianguloj.

La unua signo de egaleco de trianguloj

Problemoj pri ĉi tiu temo solvas surbaze de la pruvo de la teoremo, kiu legas: "Se la du flankoj de la triangulo kaj la angulo ili formas estas egalaj al du flankoj kaj la angulo de la alia triangulo, tiam la figuroj ankaŭ estas egalaj."

Kiel estas la pruvo de la teoremo por la unua signo de egaleco de trianguloj? Ĉiuj scias, ke du segmentoj estas egalaj, se ili estas de la sama longeco aŭ cirkloj egalaj, se ili havas la saman radiuson. Kaj en la kazo de trianguloj ekzistas kelkaj signoj, havante tion, ĝi povas supozi, ke la figuroj estas identaj, kio estas tre oportuna por solvi diversajn geometrajn problemojn.

Kiel la teoremo "La unua signo de la egaleco de trianguloj" sono estas priskribita supre, sed ĝia pruvo:

• Supozi triangulo ABC kaj A ₁ B ₁ C ₁ estas samaj flankoj AB kaj A ₁ B ₁ kaj, respektive, BC kaj B ₁ C _1, kaj la anguloj kiuj estas formitaj de tiuj flankoj havas la saman valoron, tio estas: egala. Poste metu ĝin sur la ABC △ △ A ₁ B ₁ C _1, ni akiras matĉo de ĉiuj linioj kaj verticoj. Sekve ĝi sekvas, ke ĉi tiuj trianguloj estas absolute identaj, kaj sekve ili egalas unu al la alia.

La teoremo "La unua signo de egaleco de trianguloj" ankaŭ estas nomita "Sur du flankoj kaj angulo". Fakte, ĉi tio estas ĝia esenco.

La dua karakteriza teoremo

La dua signo de egaleco pruvas simile, la pruvo estas bazita sur la fakto, ke kiam la figuroj estas superpuestos unu al la alia, ili tute koincidas sur ĉiuj verticoj kaj flankoj. Kaj la teoremo sonas tiel: "Se unu flanko kaj du anguloj en la formado de kiu ĝi partoprenas respondas al la flanko kaj du anguloj de la dua triangulo, tiam ĉi tiuj figuroj estas identaj, tio estas, egala."

La tria signo kaj pruvo

Se ambaŭ de la 2-a kaj la 1-a de la egaleco de la trianguloj tuŝis ambaŭ flankoj kaj la angulojn de la figuro, tiam la tria rilatas nur al la flankoj. Do la teoremo havas la jenan formuladon: "Se ĉiuj flankoj de unu triangulo estas egala al tri flankoj de la dua triangulo, tiam la figuroj estas identaj".

Por pruvi ĉi tiun teoremon, ni devas eniri pli detale en la sama difino de egaleco. En efekto, kion signifas la esprimo "trianguloj egalaj"? Identeco signifas, ke se vi superimponos unu figuron sur alia, ĉiuj iliaj elementoj koincidos, ĝi povas esti nur se iliaj flankoj kaj anguloj estas egalaj. Samtempe, la angulo kontraŭ unu el la flankoj, kiu estas egala al tiu de la alia triangulo, estos egala al la responda vertico de la dua figuro. Oni devas rimarki, ke ĉe ĉi tiu punkto la pruvo facile povas esti tradukita en 1 signo de egaleco de trianguloj. Se tia sekvenco ne estas observata, la egaleco de la trianguloj estas simple neebla, krom kiam la figuro estas spegula bildo de la unua.

Rektangulaj trianguloj

En la strukturo de tiaj trianguloj, ĉiam estas verticoj kun angulo de 90 °. Sekve, jenaj asertoj estas vera:

• Trianguloj kun dekstra angulo estas egalaj, se la kruroj de unu estas identaj al la kruroj de la dua;
• Figuroj estas egalaj, se ilia hipotenuso kaj unu el la kruroj estas egalaj;
• Tiaj trianguloj estas egalaj, se iliaj kruroj kaj akraj anguloj estas identaj.

Tiu trajto rilatas al rektangulaj trianguloj. Por pruvi la teoremon uzita app formojn al la alia, rezultante en la krurojn de la trianguloj estas faldita tiel ke du rektaj maldekstra rekte angulo kun CA ₁ kaj CA flankoj.

Praktika apliko

Plejofte, en la praktiko, oni aplikas la unuan signon de egaleco de trianguloj. Fakte, ĉi tiu ŝajne simpla temo de la 7a klaso en geometrio kaj planimetrio ankaŭ estas uzata por kalkuli la longon, ekzemple, de telefona kablo sen mezuri la terenon trans kiu ĝi pasos. Kun la helpo de ĉi tiu teoremo, estas facile fari la necesajn ŝtonojn por determini la longon de la insulo en la mezo de la rivero, ne trairi ĝin. Aŭ plifortigu la barilon metante la stangon en la spaco tiel ke ĝi dividas ĝin en du egalajn triangulojn, aŭ kalkulas kompleksajn elementojn de la lignaĵejo, aŭ kalkulante la tegmentan sistemon dum konstruo.

La unua signo de egaleco de trianguloj havas larĝan aplikon en reala "plenaĝa" vivo. Kvankam en lernejaj jaroj ĝi estas ĉi tiu temo por multaj ŝajnas enuiga kaj tute nenecesa.