Sinusa teoremo. solvo de trianguloj

En la studo de trianguloj nevole estas demando de kalkuli la interrilaton inter iliaj flankoj kaj anguloj. En geometrio, la teoremo de kosinusoj kaj sinojn donas la plej kompleta respondo al la problemo. La abundancia de malsamaj matematikaj esprimoj kaj formuloj, leĝoj, teoremoj kaj reguloj estas tiaj ke malsamaj eksterordinara harmonio, konciza kaj facile nutri kaptito en ili. Sine teoremon estas perfekta ekzemplo de tia matematika formulaĵo. Se la parola interpreto kaj ankoraux estas certa obstaklo en la kompreno de matematika reguloj, kiam oni rigardas matematika formulo subite ĝi falas en loko.

La unuaj informoj pri tiu teoremo estis trovitaj en la formo de evidenteco de tio en la kadro de la matematika laboro de Nasir al-Din al la-Tusi, devenante de la dektria jarcento.

Alproksimiĝanta pli proksima al la rilato inter lateroj kaj anguloj en ajna triangulo, estas notinde, ke la sinuso teoremon ebligas solvi multaj matematikaj problemoj, kaj la geometrio de la leĝo trovas aplikon en diversaj praktikaj homa aktiveco.

Ŝi sinusa teoremo statas ke por ĉiu triangulo estas karakterizita de proporcieco flankoj al kontraŭa anguloj de sinojn. Ankaŭ ekzistas dua parto de ĉi tiu teoremo, laŭ kiu la rilatumo de iu flanko de la triangulo kontraŭa al la sinuso de la angulo estas egala al la diametro de la cirklo priskribita pri la triangulo konsiderata.

En formulo tiu esprimo aspektas

al / sina = b / sinB = c / sinc = 2R

Ĝi havas pruvon de la teoremo de sinoj, kiuj en diversaj versioj de lernolibroj en riĉa vario de versioj.

Ekzemple, konsideri unu el la pruvoj, donante klarigon de la unua parto de la teoremo. Por fari tion, ni petu pruvi lojalecon al la esprimo de sinc = c Sina.

En arbitran triangulo ABC, konstrui la altecon BH. En unu enkorpiĝo, la konstrukcio H kuŝos sur la segmento AC, kaj la alia ekster ĝi, depende de la grando de la anguloj ĉe la verticoj de la trianguloj. En la unua kazo, la alto povas esti esprimita per la anguloj kaj flankoj de la triangulo kiel BH = al sinc kaj BH = c Sina, kiu estas la deviga pruvoj.

Kiam la H-punkto estas ekster la segmento AC, oni povas ricevi la sekvajn solvojn:

BH = al sinc kaj VL = c peko (180-A) = c sina;

aŭ BH = al peko (180-C) = kaj sinc kaj VL = c Sina.

Kiel vi povas vidi, sendepende de dezajno ebloj, ni alvenas al la deziratan rezulton.

La pruvo de la dua parto de la teoremo postulos priskribi cirklo ĉirkaŭ la triangulo. Tra unu el la triangulo altitudoj, ekzemple B, konstrui cirklo diametro. La rezultanta punkto sur la cirklo D estas konektita al unu el alteco de triangulo, tiam tiu estu la punkto A de la triangulo.

Se ni konsideras la akiris trianguloj ABD kaj ABC, ni povas vidi la egaleco de anguloj C kaj D (ili estas bazitaj sur la sama arko). Kaj donita ke la angulo A estas egala al naŭdek gradoj la peko D = c / 2R aŭ peko C = c / 2R, QED.

Sine teoremo estas la elirpunkto por vasta gamo de malsamaj taskoj. Aparta altiro estas lia oportuna apliko, kiel korolario de teoremo ni kapablas rilatas la valoro de la triangulo flankoj, kontraŭaj anguloj kaj la radiuso (diametro) de cirklo ĉirkaŭskribita ĉirkaŭ la triangulo. La simpleco kaj havebleco de formulo priskribanta tiu matematika esprimo, permesita vaste uzi tiun teoremon por solvi la problemojn per diversaj mekanikaj aparatoj numerebla (reguloj de ŝtono, tabloj, ktp.), Sed eĉ la alveno de la servo persono potenca komputado aparatoj ne mallevis gravecon de ĉi tiu teoremo.

Ĉi tiu teoremo estas ne nur parto de la postulata kurson de mezlernejo geometrio, sed poste uzita en iuj industrioj praktiko.