Ekvacio de la ebeno: kiel formi? Tipoj de ebenaj ekvacioj

La aviadilo spaco povas esti difinita diversmaniere (unu punkto kaj vektoro, la vektoro kaj la du punktoj, tri punktoj, ktp). Estas kun ĉi tio en menso, la aviadilo ekvacio povas havi malsamajn tipojn. Ankaŭ sub certaj kondiĉoj aviadilon Eble paralela, perpendikulara, sekcantaj, ktp Sur ĉi tiu kaj parolos en ĉi tiu artikolo. Ni lernos fari la ĝenerala ekvacio de la aviadilo kaj ne nur.

La normala formo de la ekvacio

Supozu R estas la spaco _3, kiu havas rektangulan koordinatsistemo XYZ. Ni difinas vektoron α, kiu vidos la lumon de la elirpunkto O. Tra la fino de la vektoro α desegni aviadilon P kiu estas perpendikulara al ĝi.

Signifi P ĉe arbitra punkto Q = (x, kaj, z). La radiuso vektoro de la punkto Q signo literon p. La longo de la vektoro egalas α p = IαI kaj Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Ĉi unuobla vektoro, kiu estas direktita en la direkto de vektoro α. α, β kaj γ - estas anguloj kiuj formiĝas inter la vektoro kaj la pozitivaj direktoj Ʋ spaco hakiloj x, y, z respektive. La projekcio de punkto sur vektora QεP Ʋ estas konstanta kiu egalas p (p, Ʋ) = p (r≥0).

La pli supre ekvacio estas signifoplenan kiam p = 0. La sola n aviadilon tiukaze transirus punkto O (α = 0), kiu estas la origino, kaj unuobla vektoro Ʋ, liberigita de la punkto O estos perpendikulara al P, kvankam lia direkto, kio signifas, ke la vektoro Ʋ decidita ĝis la signo. Antaŭa ekvacio estas nia aviadilo P, esprimita en vektora formo. Sed konsiderante liaj koordinatoj estas:

P estas pli granda ol aŭ egala al 0. Ni trovis la aviadilon ekvacio en normala formo.

La ĝenerala ekvacio

Se la ekvacio en la koordinatoj multobligi per ajna nombro kiu ne estas egala al nulo, rezultiĝas la ekvacio ekvivalenta al ĉi tiu difinas la tre aviadilon. Ĝi havas la sekvan formon:

Ĉi tie, A, B, C - estas la nombro de samtempe malsama de nulo. Tiu ekvacio nomiĝas la ekvacio de la ĝenerala formo de la aviadilo.

La ekvacioj de la aviadiloj. Specialaj kazoj

La ekvacio povas ĝenerale esti modifita kun aldonaj kondiĉoj. Konsideru kelkajn.

Estu la koeficiento A estas 0. Ĉi tio indikas ke la aviadilo paralela al la antaŭdeterminita akso Bovo. En ĉi tiu kazo, la formo de la ekvacio ŝanĝas: Wu + Cz + D = 0.

Simile, la formo de ekvacio kaj estos varii kun la jenaj kondiĉoj:

• Unue, se B = 0, la ekvacio ŝanĝojn al Hakilo + Cz + D = 0, kiu indikus la paralelismo al la akso Oy.
• Due, se C = 0, la ekvacio estas transformita en Ax + By + D = 0, tio estas proksimume paralela al la antaŭdeterminita akso Oz.
• Trie, se D = 0, la ekvacio aperos kiel Ax + By + Cz = 0, kio signifus ke la aviadilo sekcas O (la origino).
• Kvara, se A = B = 0, la ekvacio ŝanĝojn al Cz + D = 0, kiu pruvos al paralelismo Oxy.
• Kvina, se B = C = 0, la ekvacio iĝas Hakilo + D = 0, kio signifas ke la aviadilo estas paralela al Oyz.
• Sixthly, se A = C = 0, la ekvacio prenas la formon Wu + D = 0, tio estas:, raportos al la paralelismo Oxz.

Formo de la ekvacio en segmentojn

En la kazo kie nombroj A, B, C, D malsamaj de nulo, la formo de ekvacio (0) povas esti la sekvaj:

x / a + y / b + z / c = 1,

kiu al = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Ni ricevas rezulte ekvacio de la ebena en pecojn. Ni notu, ke tiu aviadilo intersekcas la x-akso je la punkto kun koordinatoj (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), kaj Oz - (0,0, s).

Donita la ekvacio x / a + y / b + z / c = 1, ne estas malfacile imagi la lokigo aviadilo parenco por antaŭdeterminita koordinatsistemo.

La koordinatoj de la normala vektoro

La normala vektoro n al la ebeno P havas koordinatojn kiuj estas la koeficientoj de la ĝenerala ekvacio de la ebeno, tio estas: n (A, B, C).

Por determini la koordinatojn de la normala n, estas sufiĉa por scii la ĝenerala ekvacio donita ebeno.

Kiam uzante la ekvacion en segmentojn, kiu havas la formon x / a + y / b + z / c = 1, ĉar uzinte la ĝenerala ekvacio povas esti skribita koordinatojn de ajna normala vektoro difinita ebeno: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Ni notu, ke la normala vektoro de helpi solvi diversajn problemojn. La plej komunaj problemoj estas kiu konsistas en pruvo perpendikulara aŭ paralelaj ebenoj, la tasko de trovi la anguloj inter la aviadiloj aŭ la anguloj inter la ebenaj kaj rektaj linioj.

Tajpu laŭ la aviadilon ekvacio kaj koordinatoj de la punkto normala vektoro

Al nenula vektoro n, perpendikulara al donita ebeno, nomita normala (normala) por antaŭdeterminita aviadilon.

Supozu, ke en la koordinata spaco (rektangula koordinatsistemo) Oxyz agordi:

• Mₒ punkto kun koordinatoj (hₒ, uₒ, zₒ);
• nula vektoro n = A * i + B * j + C * k.

Vi devas fari ekvacion de la aviadilo kiu trapasas Mₒ punkto perpendikulara al la normala n.

En la spaco ni elektas iu ajn arbitra punkto kaj signifi M (x, kaj, z). Lasu la radiuso vektoro de ĉiu punkto M (x, kaj, z) estos r = x * i + y * j + z * k, kaj la radiuso vektoro de punkto Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. La punkto M apartenos al donita ebeno, se la vektoro MₒM esti perpendikulara al la vektoro n. Ni skribu la kondiĉo de orteco uzante la skalara produto:

[MₒM, n] = 0.

Ekde MₒM = r-rₒ, la vektoro ekvacio de la ebeno aspektos tiel ĉi:

[R - rₒ, n] = 0.

Tiu ekvacio povas ankaŭ havi alian formon. Por tiu celo, la proprietoj de la skalara produto, kaj konvertis la maldekstra flanko de la ekvacio. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Se [rₒ, n] signifita kiel s, rezultiĝas la sekva ekvacio: [r, n] - a = 0 aŭ [r, n] = s, kiu esprimas la konstantecon de la projekcioj de la normala vektoro de la radiuso-vektoroj de la donitaj punktoj kiuj apartenas aviadilon.

Nun vi povas ricevi la koordinato tipo registradon aviadilon nia vektoro ekvacio [r - rₒ, n] = 0. Pro tio ke r-rₒ = (x-hₒ) * mi + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k kaj n = A * i + B * j + C * k, ni havas:

Montriĝas, ke ni havas la ekvacion estas formita aviadilo pasanta tra la punkto perpendikulara al la normala n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tajpu laŭ la aviadilon ekvacio kaj koordinatoj de du punktoj de la vektora ebeno samrektaj

Ni difini du arbitra punktoj M (x ', y', z ') kaj M "(x", y ", z"), kaj ankaŭ la vektoro (a', a ", oni ‴).

Nun ni povas skribi ekvacion antaŭdeterminita aviadilo kiu pasas tra la ekzistanta punkto M 'kaj M ", kaj ĉiu punkto kun la koordinatoj M (x, kaj, z) paralelaj al donita vektoro.

Tiel M'M vektoroj x = {x ', y-y'; zz '} kaj M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} devas esti samebenaj kun la vektoro a = (a ', a ", oni ‴), kio signifas ke (M'M M" S a) = 0.

Do nia ekvacio de ebeno en spaco aspektos tiel ĉi:

Tipo de aviadilo ekvacio, transirante tri punktoj

Supozu ke ni havas tri punktoj: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Havu ‴, z ‴), kiu ne apartenas al la sama linio. Estas necese skribi ekvacion de la aviadilo trapasis la tri punktoj precizigita. geometrio teorio argumentas ke tiu speco de aviadilo ne ekzistas, ĝi estas nur unu kaj nur. Ekde ĉi tiu ebena sekcas la punkto (x ', y', z '), ĝia ekvacio formo estus:

Ĉi tie, A, B, kaj C estas malsamaj de nulo samtempe. Ankaŭ donita ebeno sekcas du punktoj (x ", y", z ") kaj (x ‴, y ‴, z ‴). Tiurilate devas efektivigi tian kondiĉoj:

Nun ni povas krei uniformo sistemo de ekvacioj (lineara) kun misteroj u, v, w:

En nia kazo x, y aŭ z staras arbitra punkto kiu kontentigas ekvacion (1). Konsiderante ekvacio (1) kaj sistemo de ekvacioj (2) kaj (3) la sistemo de ekvacioj indikitaj en la figuro pli supre, la vektora kontentigas N (A, B, C) kiu estas netriviala. Ĝi estas ĉar la determinanto de la sistemo estas nul.

Ekvacio (1), ke ni havas, tio estas la ekvacio de la ebeno. 3 punkto ŝi vere iras, kaj estas facile kontroli. Por fari tion, ni pligrandigi la determinanto de la elementoj en la unua vico. El la ekzistantaj ecoj determinanto sekvas ke nia aviadilo samtempe sekcas la tri originale antaŭdeterminita punkto (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Do ni decidis al tasko antaŭ ni.

Duedra angulo inter la ebenoj

Duedra angulo estas spaca geometria formo formita de du duon-aviadiloj kiuj emanas el rekta linio. Alivorte, parto de la spaco, kiu estas limigita al la duone aviadiloj.

Supozi ni havas du aviadilon kun jenaj ekvacioj:

Ni scias, ke la vektoro N = (A, B, C) kaj N¹ = (A¹, H¹, S¹) laŭ antaŭdeterminita aviadiloj estas perpendikularaj. Tiurilate, la angulo φ inter vektoroj N kaj N¹ egala angulo (duedra), kiu situas inter ĉi tiuj aviadiloj. La skalara produto estas donita per:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

ĝuste

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Sufiĉas konsideri ke 0≤φ≤π.

Efektive du aviadiloj kiuj sekci, formo du angulo (duedra): φ ₁ kaj φ _2. Ilia sumo egalas π (φ ₁ + φ ₂ = π). Iliaj kosinusoj, iliaj absolutaj valoroj estas egalaj, sed ili estas malsamaj signoj, tio estas, cos φ ₁ = -cos φ _2. Se en la ekvacio (0) estas anstataŭita de A, B kaj C de -A, -B kaj -C respektive, la ekvacio, ni ricevi, determinos la sama ebena, la sola angulo φ en ekvacio cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Estos anstataŭita de π-φ.

La ekvacio de la perpendikulara ebeno

Nomita perpendikulara ebeno, inter kiuj la angulo estas 90 gradoj. Uzante la materialo prezentita pli supre, ni povas trovi la ekvacion de ebeno perpendikulara al la aliaj. Supozi ni havas du aviadilojn: Ax + By + Cz + D = 0 kaj + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Ni povas diri ke estas ortaj se cos = 0. Tio signifas, ke NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

La ekvacio de paralela aviadilo

Ĝi nomis du paralelaj ebenoj kiuj enhavas neniun punktoj komune.

La kondiĉo de paralelaj ebenoj (ilia ekvacioj estas samaj kiel en la antaŭa paragrafo) estas ke la vektoroj N kaj N¹, kiuj estas perpendikularaj al ili, samrektaj. Tio signifas, ke la sekvaj kondiĉoj plenumiĝis proporcieco:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Se la proporcia terminoj estas vastigita - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

tio indikas ke la datumoj ebena de la sama. Tio signifas, ke ekvacio Ax + By + Cz + D = 0 kaj + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 priskribas unu aviadilon.

La distanco de punkto al ebeno

Supozi ni havi aviadilon P, kiu estas donita per (0). Estas necese trovi la distancon de la punkto kun koordinatoj (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Vi devas alporti la ekvacio en la aviadilo II normalan ŝajnon por igi ĝin:

(Ρ, v) = p (r≥0).

En ĉi tiu kazo, ρ (x, kaj, z) estas la radiuso vektoro de nia punkto Q, lokita sur n p - n estas la longo de la perpendikulara, kiu estis liberigita de la nulo punkto, v - estas la unuobla vektoro, kiu estas aranĝita en la direkto al.

La diferenco ρ-ρº radiuso vektoro de punkto Q = (x, y, z), apartenanta al n kaj la radiuso vektoro de donita punkto Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) estas tia vektoro, la absoluta valoro de la projekcio de kiuj sur v egalas la distancon d, kiu estas necesa por trovi el Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) por P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, sed

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Do rezultas,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Nun estas klare, ke por kalkuli la distancon d de ₀ al Q aviadilo P, necesas uzi normalan vidon aviadilon ekvacio, la movo al la maldekstra de p, kaj la lasta loko de x, kaj, z anstataŭaĵo (hₒ, uₒ, zₒ).

Tiel, ni trovas la absoluta valoro de la rezultanta esprimo kiu estas postulita d.

Uzante la parametroj de lingvo, ni ricevas la evidenta:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Se la precizigita punkto Q ₀ estas ĉe la alia flanko de la aviadilo P kiel la origino, poste inter la vektoro ρ-ρ ⁰ kaj v estas obtuza angulo, tiel:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

En la kazo kiam la punkto Q ₀ kune kun la origino lokita en la sama flanko de la U, la akra angulo estas kreita, tio estas:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

La rezulto estas ke en la unua kazo (ρ ^0, v)> p, en la dua (ρ ^0, v)

Kaj lia tangenta ebeno ekvacio

Pri la aviadilon al la surfaco ĉe la punkto de tangency Mº - ebeno enhavanta ĉiuj eblaj tangento al la kurbo tiritaj tra tiu punkto sur la surfaco.

Kun ĉi surfaco formo de la ekvacio F (x, y, z) = 0 en la ekvacio de la tangenta ebeno tanĝanta punkto Mº (hº, uº, zº) estus:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Se la surfaco estas metita eksplicite z = f (x, y), tiam la tangenta ebeno estas priskribita per la ekvacio:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

La komunaĵo de du aviadiloj

En tri-dimensia spaco estas koordinatsistemo (rektangula) Oxyz, donita du aviadiloj P kaj P ', kiu koincidas kaj ne koincidas. Ekde iu aviadilo, kiu estas en rektangula koordinatsistemo difinita de la ĝenerala ekvacio, ni supozas ke n 'kaj n "estas difinita de la ekvacioj A'x + V'u S'z + + D' = 0 kaj A" + B x '+ y kun "z + D" = 0. En ĉi tiu kazo havas normalan n '(A', B ', C') de la ebeno P 'kaj la normala n "(A", B ", C") de la ebeno P'. Kiel nia aviadilo ne estas paralelaj kaj ne koincidas, do tiuj vektoroj ne estas samrektaj. Uzante la lingvon de la matematiko, ni havas ĉi tiun kondiĉon povas esti skribita kiel: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Kaj", λ * En ", λ * C"), λεR. Diru la rekta linio kiu kuŝas ĉe la intersekciĝo P kaj P ", estos skribata la leteron al, en tiu kazo al = P ∩ P".

kaj - linion kiu konsistas de pluralidad de punktoj (komuna) aviadiloj P kaj P '. Tio signifas, ke la koordinatoj de iu punkto apartenanta al la linio a, devas samtempe kontentigi la ekvacio A'x + V'u S'z + + D '= 0 kaj A "x + B + C y" z + D "= 0. Tio signifas, ke la koordinatoj de la punkto estos aparta solvo de la sekvaj ekvacioj:

La rezulto estas ke la solvo (entuta) de ĉi tiu sistemo de ekvacioj determinos la koordinatoj de ĉiu el punktoj sur la linio kiu funkcios kiel la punkto de komunaĵo P kaj P ", kaj determini linion en koordinatsistemo Oxyz (rektangula) spaco.